Leonardo Fibonacci ve Fibonacci Serisi

Fibonacci ,ya da daha doğrusu Leonardo da Pisa, İ.S. 1175 de İtalya’nın Pisa kentinde doğdu. Babası Kuzey Afrika’da gümrük memurluğu da yapmış bir tüccardı. Cezayir, Mısır ,Suriye ,Yunanistan ve Sicilya’ya iş yolculukları yaptı.

1200 yılında Pisa’ya geri döndü ve yolculukları sırasında edindiği bilgilerini kullanarak Avrupa’ya onlu sayı sistemini tanıttığı “Liber Abaci” yi (Hesap Kitabı) yazdı. Bölüm 1’in ilk kısmı şöyle başlamaktaydı :

Bunlar Hintlilerin dokuz rakamıdır : 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Bunlar ve arapların ‘zephirum’ dedikleri 0 işareti ile birlikte her sayı yazılabilmektedir.

Kök Bulma
Fibonacci oldukça dikkate değer bir hesaplama yeteneğine sahipti. Aşağıda verilen kübik eşitliğin pozitif çözümünü bulabilmişti :

Asıl dikkate değer olan ise tüm çalışmalarını 60 tabanını kullanan Babil Sistemi ile yapması idi. Çözümü 1,22,7,42,33,4,40 olarak vermişti. Bu ise

ifadesine eşitti. Bu sonucu nasıl elde ettiği bilinmemektedir, fakat böyle kesin bir sonucu başka matematikçiler bulmadan 300 yıl önce bulmuştu.

Fibonacci Dizisi

Fibonacci günümüzde daha çok ‘Liber Abaci’ adlı eserinde tanıttığı ve sonradan onun adıyla anılmaya başlanan Fibonacci Sayıları ile tanınmaktadır. Dizi 1 ve 1 ile başlar. Ardından şu basit kural uygulanır :

“Bir sonraki sayıyı bulmak için son iki sayıyı topla.”

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...

Bu dizinin neden ortaya çıktığı merak edilebilir. Fibonacci’nin zamanında matematik yarışmaları oldukça yaygındı. Fibonacci 1225 yılında Kral 2. Frederick’ in düzenlediği bir turnuvaya katılmıştı.

İşte bu tarz bir yarışmada aşağıdaki problem ortaya çıktı :

Tek bir çift tavşan ile başlayarak her ay üretken çift, yeni bir tavşan çifti oluşturursa ve yeni tavşanlar bir ay sonra üretken oluyorsa, ‘n’ ay sonra toplam kaç tavşan olur? (Sorunun cevabı yazının sonundadır.)

Altın Bölüm

Fibonacci serisi ile yakından ilgili özel bir değer de ‘altın bölüm’ dür. Bu değer serideki ardışık terimlerin birbirine oranı ile elde edilir :

Şekilde görüldüğü gibi bu oran bir değere yakınsamaktadır. Aslında bu değer ikinci dereceden bir eşitliğin (aşağıda gösteriliyor) pozitif köküdür ve altın bölüm, altın oran ya da bazen altın anlam olarak adlandırılmaktadır.

Altın bölüm Yunan harfi ‘phi’ ile sembolize edilir. Aslında, Plato zamanının (İ.Ö. 400) matematikçileri onu anlam taşıyan bir değer olarak kabul ediyorlardı ve yunanlı mimarlar 1/phi oranını tasarımlarının ayrılmaz bir parçası olarak kullanıyorlardı. Bu mimari yapılardan en ünlüsü Atina’daki Parthenon’dur.

Parthenon, Atina

Tavşan Probleminin Çözümü :

Farz edelim ki ‘n’ ay sonra Xn çift tavşan olsun. ‘n+1’.aydaki tavşan çifti sayısı (problemde tavşanların ölmediği kabul edilmektedir) yeni doğan tavşan çiftleri ve Xn nin toplamı kadardır. Fakat yeni çiftler, en az bir aylık çiftler tarafından doğrulacağından toplam tavşan çifti sayısı

xn+1 = xn + xn-1

olarak hesaplanır. Bu ifade ise aslında Fibonacci sayılarının üretilmesinde kullanılan kuraldır.